什么是分岔？

分岔

bifurcation

动力学系统的参量值跨越临界值（分叉值）所导致稳定定常状态定性变化的现象。又称分叉。这术语是19世纪末H.庞加莱研究天体起源时引进的。一团旋转流体角速度ω有一分叉值ω*，在ω＞ω*情况中，液体有一稳定平衡态(形状)，而在ω＜ω* 情况中，这个平衡态失去稳定性，液体最终趋于另一稳定平衡态，这一分岔现象可用以解释天体某种形状的起源。力学中研究过的最早的分岔例子是18世纪L.欧拉考虑的细压杆屈曲。如取轴向力大小 P 为参量，欧拉临界力P * 是一分岔值。在P＜P * 情况，细杆只有一个稳定平衡态 (不弯曲)，而在 P＞ P *情况下，它失去稳定性，细杆有两个新的稳定平衡态，它最终将趋于其中的一个（向一侧弯曲）。

动力学系统的稳定定常状态除平衡态外，还有周期态即振动，以及略为复杂些的准周期态。参量跨越分岔值（无论由大到小或由小到大）有时引起系统（稳定）平衡态换成（稳定）周期态（或相反由周期态到平衡态），这种分岔20世纪 30 年代 A.A.安德罗诺夫在分析自激振动中详细研究过，但在文献中通常称为E.霍甫分岔（40年代）。

60年代以后的研究表明，动力学系统的稳定定常态除平衡、周期、准周期各态外，更可能是另一种——混沌态，即确定性系统由于初态敏感性而产生的随机状态。因而在一般意义的分岔现象中，系统参量跨越分岔值导致系统中定态的转化可能是多种多样的：一种平衡到另一种平衡，振动到混沌，准周期到混沌，混沌到准周期，甚至混沌到另一种混沌，等等。与混沌出现有关的分岔称为同宿分岔。流体动力学中的湍流是比混沌更为复杂的运动状态。流体流动中由层流向湍流的转捩可以用分岔理论得到部分解释。

分岔现象的研究引起了众多领域的科学家的兴趣。理论和实验的结果都表明，分岔现象是出现在许多学科中的普遍物理现象。早在19世纪，C.雅可比、H.庞加莱等人就已引进“分岔”这一术语。迄今已出现了许多关于分岔理论的著作，其中除大量的数学文献外，在弹性结构、流体力学、天体物理学、化学反应、非线性振动、生物发育、基本粒子理论等领域中有关分岔现象的文献数量也很多。在系统与控制理论中，分岔理论可以用来探讨非线性系统中分岔现象的产生和消失、分岔性失稳的出现和控制以及分岔性失稳系统的调节和控制等问题。分岔理论也为协同学、耗散结构理论、数学生态学提供了有用的工具。20世纪70年代后期关于混沌现象和奇异吸引子的研究结果表明，连续发生的分岔现象往往是出现混沌现象的先兆。混沌现象是比分岔更为复杂的一类非线性现象。它不是简单的无序和混乱状态，而是没有明显的周期和对称、却具备丰富的内部层次的有序状态。分岔理论对许多实际系统的研究有重要意义。

从数学角度来说,分岔理论主要研究非线性方程(微分方程、积分方程、差分方程等)中的参数对解的定性性质的影响。其中，参数与解的稳定性、周期性、平衡位置等基本性质的关系是研究的重点。早在1885年，庞加莱就提出了一套平面动力学系统的平衡状态与参数的关系的理论。他研究了参数通过分岔值时系统轨线的拓扑结构的变化状况，建立了相应的判别准则。20世纪50年代，苏联学者A.A.安德罗诺夫推广了庞加莱的结果，并在非线性振动理论中加以应用。后来，又有人研究高维欧几里德空间或巴拿赫空间中的分岔理论，但结果还不多。

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